الانحدار الخطي المتعدد Multiple Linear Regression

       ان نموذج الانحدار المتعدد هو عبارة عن انحدار للمتغير التابع ( Y ) على العديد من المتغيرات المستقلة X 1 , X 2 , ...X K ويسمى هذا بنموذج الانحدار الخطي المتعدد , Multiple Linear Regression .

       ويهدف هذا المقال إلى توضيح كيفية تقدير نموذج الانحدار الخطي المتعدد , , ثم تحديد أهم افتراضات النموذج , يضاف إلي ذلك بيان عدم وجود علاقة خطية تامة بين المتغيرات المستقلة وكيف أن المصفوفة ( X ) , تكون مصفوفة غير شاذة ( Non – Singular ) إذا كان محددها لا يساوي صفرا . ثم يتم بعد ذلك تقدير معلومات النموذج , تقدير التباين والتباين المشترك والانحراف المعياري لها للوصول إلى اختبار معاملات النموذج .

نموذج الانحدار الخطي المتعدد :

       يستند النموذج الخطي المتعدد على افتراض وجود علاقة خطية بين متغير تابع Y i وعدد من المتغيرات المستقلة X 1,X 2,...X K وحد عشوائي U i , ويعبر عن هذه العلاقة , بالنسبة ل n من المشاهدات و k من المتغيرات المستقلة , بالشكل آلاتي :

Y i = B 0 + B 1X i1 + B 2X i1 + … + B KX ik + U i       …. (1)  

وفي واقع الآمر فان هذه المعادلة هي واحدة من جملة معادلات يبلغ عددها ( n ) تكون نظام المعادلات آلاتي :

Y 1 = B 0 + B 0X 11 + B 2X 12 + … + B KX 1K + U 1

Y 2 = B 0 + B 1X 21 + B 2X 22 + … B KX 2K + U 2  

.          .     .. ..       …          …           …          ..

…. ..     ..        ..          …             …        …    ..

Y n = B 0 + B 1X n1 + B 2X n2 + … + B KX nK + U n

هذه المعادلة تتضمن (1+ k ) من المعلومات المطلوب تقديرها علما بان الحد الأول منها ( B 0 ) يمثل الحد الثابت , الآمر الذي يتطلب اللجوء إلى المصفوفات والمتجهات لتقدير تلك المعلمات. عليه يمكن صياغة هذه المعادلات في صورة مصفوفات وكآلاتي :

  =    +   ….   ( 2 )

وباختصار

Y = XB + U

Y : متجه عمودي أبعاده (1+ n ) يحتوي مشاهدات المتغير التابع .

X          : مصفوفة أبعادها (1+ k × n ) تحتوي مشاهدات المتغيرات المستقلة يحتوي عمودها الأول على قيم الواحد الصحيح ليمثل الحد الثابت .

B : متجه عمودي أبعاده ( 1× 1 + K ) يحتوي على المعالم المطلوب تقديرها .

U : متجه عمودي أبعاده (1× n ) يحتوي على الأخطاء العشوائية .

       وبما أن المعادلة ( 1 ) هي العلاقة الحقيقية المجهولة والمراد تقديرها باستخدام الإحصاءات المتوفرة عن المتغير التابع , Y , والمتغيرات المستقلة , X 1,X 2,..X K , فانه يستوجب تحقق الفروض الأساسية الخاصة ب U i التالية :  

U i ~ N ( 0 , I n )

والذي يعني أن U i يتوزع توزيعا طبيعيا ( N ) متعدد المتغيرات لمتجه وسطه صفري (0) ومصفوفة تباين وتباين مشترك عددية هي ( In ) .

فرضيات النموذج الخطي المتعدد :

       عند استخدام طريقة OLS في تقدير نموذج الانحدار الخطي المتعدد , فانه يجب توافر الافتراضات آلاتية :

1-   القيمة المتوقعة لمتجه حد الخطا تساوي صفرا أي أن , 0 = ( U i ) E :

E (Ui) = E  =  =

2-   تباين العناصر العشوائية ثابت , والتباين المشترك بينها يساوي صفرا , أي أن :

Cov (U) = E ( U ) = In

E ( U ) = E  

                = E

                 =

                =

  var (Ui) = E( ) =

Cov ( , I # j

     E(

حيث أن : = ....... =  =

=

=

وتسمى المصفوفة العددية أعلاه بمصفوفة التباين والتباين المشترك – Variance Covariance Matrix لحد الخطا U , حيث تشكل العناصر القطرية في المصفوفة , تباين قيم U بينما تبقى العناصر غير القطرية ( أعلى واسفل القطر ) مساوية للصفر لانعدام التباين المشترك والترابط بين قيم U i .

3- ليس هناك علاقة خطية تامة بين المتغيرات المستقلة كما وان عدد المشاهدات يحجب أن يزيد على عدد المعلمات المطلوب تقديرها , أي أن :

R (x) = k + 1 < n

حيث أن ( r ) رتبة مصفوفة البيانات , ( x ) عدد المتغيرات المستقلة ( k ) زائدا (1) الحد الثابت , وهي اصغر من عدد المشاهدات ( n ) . وهذه الفرضية ضرورية جدا لضمان أيجاد معكوس المصفوفة ( ) , إذ أن انتفاء هذا الفرض يجعل رتبة المصفوفة ( X ) اقل من ( 1+ K ) وبالتالي فان رتبة ( ) التي تستخدم في الحصول على مقدرات OLS بدورها اقل من (1+ K ) ولايمكن أيجاد معكوسها بسبب ما يسمى بمشكل الارتباط الخطي المتعدد , وبالتالي لايمكن الحصول على مقدرات المربعات الصغرى العادية , OLS .

طرق تقدير معلمات النموذج :

   في ضوء الفرضيات المذكورة أعلاه يمكن استخدام طريقة OLS في تقدير معلمات النموذج الخطي المتعدد , ولهذا الغرض يمكن كتابة المعادلة ( 1 ) بصيغتها التقديرية كآلاتي :

ولما كان هدفنا هو الحصول على قيم كل من  التي تجعل مجموع مربعات الانحرافات اقل ما يمكن , أي تصغير القيمة ( مبدا المربعات الصغرى ) إلى اقل قيمة ممكنة , أي :

Min

ومن خلال التعويض عن  بما يساويها واخذ المشتقات الجزئية بالنسبة إلى ومساواتها بالصفر نحصل على :

-2

بالقسمة على (-2) وفك القوس , نحصل :

             (3)

بالقسمة (-2) وفك القوس , نحصل :

             (4)

بالقسمة على (-2) وفك القوس , نحصل :

(5)

                       

وتمثل المعادلات (3) , (4 ) و (5) المعادلات الطبيعية الثلاث التي تستخدم في تقدير المعالم الثلاثة المجهولة . أن هذه المعادلات , يمكن حلها بإحدى الطرق آلاتية :

أولا : طريقة المحددات :

   ويمكن أن تحل هذه المعادلات بواسطة قاعدة كرا يمر للحصول على قيم من المعلمات وعلى النحو آلاتي :

ومن النظام أعلاه , يمكن أيجاد المحددات آلاتية :

|D| =

|N 1| =

|N2| =

أما بالنسبة ل فيتم الحصول عليه عن طريق :

ثانيا : طريقة الانحرافات :

   ويمكن تقدير معاملات الانحدار المتعدد باستخدام   أسلوب الانحرافات أو ما يسمى بالمتوسطات , أي انحرافات   القيم الأصلية عن وسطها وكآلاتي :

ولهذا الغرض نأخذ نموذج يحتوي متغيرين مستقلين X1 و X2 :

وبآخذ المتوسط لهذه المعادلة :

 ,

اثبات أن :

وبادخال على طرفي المعادلة اعلاه , نحصل على :

وبالقسمة على n :

                                           (6) ........

                                            ...... (7)

                              (8)..........

وبطرح المعادلة (8) من المعادلة (6) نحصل :

وبعد الاختصار في الطرف الايمن , نحصل :

ومنها يكون :

or

yi =       ( I=1,2,3,……,n )         …( 9 )

وفي واقع الأمر فان المعادلة أعلاه هي واحدة من جملة معادلات يبلغ عددها n معادلة تكون نظام المعادلات التالي :

Y 1 =

Y 2 =

….              ……….              ………

y n =

ويمكن التعبير عن المعادلات أعلاه في هيئة مصفوفة وكما يلي :

حيث يمكن التعبير عن ذلك بصيغة المصفوفات :

Y = x

حيث أن :

Y : متجه عمودي أبعاده ( 1× n ) يحتوي على انحرافات قيم المتغير التابع .

X : مصفوفة أبعادها ( 1 – k  × n ) تحتوي على انحرافات قيم المتغيرات المستقلة حيث أنها لا تتضمن العمود الأول الذي يمثل الحد الثابت . حيث يمكن بذلك استخراج الحد الثابت  من خارج المصفوفة باستخدام القانون آلاتي :

or

: متجه عمودي أبعاده ( 1× 1 – K ) تحتوي على المعالم المجهولة .

E : متجه عمودي أبعاده ( 1× n ) يحتوي على البواقي .

ويمكن التوصل الى مصفوفة الانحرافات باتباع الخطوات التالية :

باعادة كتابة المعادلة ( 4 . 7 ) على النحو الاتي :

ولما كانت افضل طريقة للحصول على اصغر قيمة ممكنة للانحرافات تتم بواسطة تربيعها وبجعل مجموع مربعاتها اصغر ما يمكن . وبأخذ المشتقة الجزئية لها   بالنسبة لكل من ومساواتها بالصفر نحصل على :

وبالقسمة على (-2) وفك القوس , نحصل على :

( 10 ) ...

وبالقسمة على (-2) وفك القوس , نحصل :

...(11)

   

ويمكن صياغة المعادلتين أعلاه على شكل مصفوفة وكآلاتي :

ومن النظام أعلاه , يمكن إعادة كتابته بالشكل التالي :

وعليه فان تقدير المعالم باستخدام المصفوفة بأسلوب الانحرافات يأخذ الصيغة التالية :

وبعد احتساب المتجه  ومحدد المصفوفة  الذي ينبغي أن لا يساوي صفرا نوجد مقلوب المصفوفة الذي هو عبارة عن  ومن ثم تطبيق القانون أعلاه . أما  فيمكن حسابه بموجب القانون آلاتي :

هذا ويمكن استخراج   القيم بالانحرافات دون الرجوع إلى البيانات الأصلية وكما مبين أدناه :

وبعد استخدام الحاسوب , فقد اصبح من السهل على الباحث الاقتصادي أن يحصل على النتائج من خلال أجادته استخدام إحدى البرمجيات الإحصائية أمثال EXCEL  , SPSS , , ولايحتاج إلى استخدام الصيغ أعلاه في الجوانب التطبيقية , ولكن تم عرضها هنا لمعرفة كيفية عمل الانحدار المتعدد.

اختبار الفرضيات لنموذج الخطي المتعدد :

       يهدف هذا البحث إلى توسيع معارفنا الأساسية لنموذج الانحدار وذلك بأجراء اختبار معنوية الانحدار المتعدد والمقدر باستخدام توزيع اختبار إحصاءه F ومقارنته باختبار t ومن ثم تقييم كفاءة الأداء العام لنموذج الانحدار المتعدد  ومقارنته بمعامل التحديد المقدر المعدل  , وكذلك اختبار العلاقة بين F و  من خلال جدول تحليل التباين , ANOVA , ثم علاقة  بقيمة المتغير العشوائي ,  .

اختبار معنوية المعالم ( t ) :

يستخدم اختبار t لتقييم معنوية تأثير المتغيرات المستقلة x 1,x 2,...x k في التغير التابع y في نموذج الانحدار المتعدد   يعتمد على نوعين من الفروض :

فرضية العدم B 1 = B 2 = B 3 ...= B K = 0 H 0

الفرضية البديلة B 1 = B 2 # B 3 # ...B K = 0 H 1

وبعد احتساب قيمة ( t ) تقارن مع قيمتها الجدولية لتحديد قبول او رفض فرضية العدم ومن ثم تقييم معنوية معلمات النموذج المقدر ، والصيغة الرياضية لهذا الاختبار يمكن بيانها كما يلي :

ا – بالنسبة الى

ب – بالنسبة الى :

معامل التحديد R 2      Multiple Coefficient of determination

       ويعد مؤشر أساس في تقييم مدى معنوية العلاقة بين المتغير التابع ( Y ) والمتغيرات المستقلة ( X K ) إذ ( k ، ... ، 1 = k ) ، بعبارة أخرى هو مقياس يوضح نسبة مساهمة المتغيرات المستقلة في تفسير التغير الحاصل في المتغير التابع . ويمكن اشتقاقه باستخدام المصفوفات بالانحرافات كآلاتي :

وبما أن التحديد الثاني الثالث قيمة واحدة كما وان كلا منها يمثل مبدلا للآخر فان :

بذلك يمكن كتابة معادلة الانحرافات الكلية كآلاتي :

إذ أن :

      : تمثل الانحرافات الكلية .

: تمثل الانحرافات الموضحة من قيل خط الانحدار .

       : تمثلا الانحرافات غير الموضحة .

وبما أن معامل التحديد R 2 عبارة عن نسبة الانحرافات الموضحة من قيل خط الانحدار إلى الانحرافات الكلية ، Total variation ، فانه يمثل نسبة مجموع مربعات التغير في المتغيرات المستقلة إلى مجموع المربعات الكلية :

أن إضافة متغيرات مستقلة جديدة إلى المعادلة يؤدي إلى رفع قيمة R 2 ، وذلك لثبات قيمة المقام وتغير قيمة البسط بمقدار غير أن الاستمرار بإضافة المتغيرات المستقلة سيؤدي إلى انخفاض درجات الحرية

( n-k-1 ) ، مما يتطلب استخراج معامل التحديد المعدل أو المصحح R -2 وعلى النحو الآتي :

اختبار إحصائية F ،     F – Statistics

       يستهدف هذا الاختبار معرفة مدى معنوية العلاقة الخطية بين المتغيرات المستقلة X 1 , X 2 , ...X K على المتغير التابع Y  ، وكما هو الحال في الانحدار البسيط فأنه يعتمد على نوعين من الفروض :

فرضية العدم H0 : وتنص على انعدام العلاقة بين كل متغير من المتغيرات المستقلة X1,X2, … XK وبين المتغير التابع Y ، أي :

الفرضية البديلة H1 : وتنص على وجود علاقة معنوية بين المتغيرات المستقلة والمتغير التابع ، أي :

والصيغة الرياضية لهذا الاختبار هي :

وبعد احتساب قيمة F تقارن مع قيمتها الجدولية بدرجة حرية ( k ) و ( n-k-1 ) للبسط والمقام ولمستوى معنوية معين . فإذا كانت القيمة المحتسبة اكبر من القيمة الجدولية ترفض H 0 وتقبل H 1 أي أن العلاقة المدروسة معنوية ، وهناك على الأقل متغير مستقل واحد من المتغيرات XK ذو تأثير في Y . أما إذا كانت القيمة المحتسبة اصغر من الجدولية فان ذلك يعني قبول H 0 أي أن العلاقة الخطية المدروسة غير معنوية أي انه ليس ثمة تأثير من أي متغير من المتغيرات المستقلة على المتغير التابع .

جدول تحليل التباين ، ANOVA :

       لغرض الوقوف على تأثير كل من X1 ، X 2 في المتغير التابع Y ، لابد من عمل جدول تحليل التباين لبيان اثر المتغيرين المستقلين X 1 ، X 2 في النموذج.

جدول تحليل التباين

قياس حدود الثقة :

       لاحتساب حدود الثقة لاية مشاهدة (نقطة ) من مشاهدات خط الانحدار للمجتمع او بعبارة اخرى لحساب القيمة المتوسطة الحقيقية ال Y عند مستوى معنوية معين للمتغير المستقل في النموذج . نفترض ان النقطة المراد تقدير حدود ثقتها هي E(Y 0) . ولتقدير المجال الذي يمكن ان   تقع فيه قيمة E(Y 0) المقابلة لتشكيلة معينة من قيم المتغيرات المستقلة ( K ) يجب اشتقاق متباينة القيمة E(Y 0) .

وباختصار :

ولغرض اشتقاق المتباينة الخاصة بتقدير فترات حدود الثقة للقيمة E(Y 0) يجب اشتقاق وتباين القيمة  وكالاتي :

لايجاد الوسط فاننا ناخذ القيمة المتوقعة ل  :

ولايجاد التباين :

Var  

واذا رمزنا للقيمة التقديرية لتبلين قيمة حدود الثقة  بالرمز ، فان :

وعليه فان حدود الثقة للقيمة تكون :

اولا : التطبيق العملي   ل لانحدار الخطي المتعدد  

يستخدم الانحدار المتعدد لمعرفة الاثر او ا لعلاقة بين المتغيرات التفسيرية والمتغير المعتمد (متغير واحد) من خلال تقدير هذه العلاقة وبالشكل الاتي:

Y = f (X1, X2 , X3)                         ….(1)

ففي المعادلة السابقة نريد ان نعرف تاثير المتغيرات   X1   و X2 و X3 على المتغير Y ، ونستعين بعلم الاحصاء لمعرفة العلاقة السالفة الذكر .

والمعادلة التقديرية حسب نموذج الانحدار الخطي المتعدد (بالنسة للمتغيرات المذكورة في المعادلة 1)   تكون وفق الاتي :

Y = a + bX1 + cX2 + dX3 + u   …………….. (2)

حيث تمثل :

ِ a : معامل التقاطع او الحد الثابت

b   ، c  ، d : تمثل معاملات معادلة الانحدار الخطي المتعدد (ميول) .

U   ، تمثل الخطا القياسي او الخطا العشوائي للنموذج المقدر

ولتقدير النموذج السابق نستخدم طريقة المربعات الاعتيادية ( Ordinary Least Squares ) ، والبرنامج الاحصائي SPSS يقوم بشكل تلقائي بحساب المعاملات ( a و b و c و d )

ثانيا : معنوية معاملات معادلة الانحدار المتعدد

بعد الحصول على نتائج معادلة الانحدار (المعاملات a و b و c و d ) يجب علينا ان نبين هل ان هذه المعاملات مقبولة   من الناحية الاحصائية (معنوية احصائيا) مع التنويه ان المعنوية تكون لكل معامل على حدة ، لكي نحكم على معنوية معاملات الانحدار نستعين باختبار T او احصائية t ، ومستوى الاحتمالية المقابل لها ، وبرنامج SPSS يقوم تلقائيا باستخراج اختبار t ومستوى الاحتمالية المقابل لها.

ثالثا : المعنوية الاجمالية لنموذج الانحدار

هناك احصائيات تستخدم لمعرفة المعنوية الاجمالية للنموذج ومنها R R 2 R 2- ، الاول  R هي معامل الارتباط البسيط (يقيس قوة ا لعلاقة بين متغيرين او اكثر ) اما   R 2  فهو يسمى معامل التحديد ، وهو يستخدم لمعرفة القوة التفسيرية للنموذج المقدر (المعادلة المقدرة) في حالة الانحدار الخطي البسيط (متغير مستقل واحد مع متغير معتمد واحد) ، اما R 2- فهو يستخدم لتفسير القوة التفسيرية لنموذج الانحدار الخطي المتعدد (لانه ياخذ بنظر الاعتبار عدد المتغيرات المستقلة ولذلك يسمى بالمصحح ، لانه بالاصل مشتق من R 2 ) . وايضا تستخدم احصائية F للحكم على معنوية النموذج المقدر ككل عند مستوى معنوية معين (مستوى احتمال ).

رابعا : التطبيق العملي باستخدام البرنامج الاحصائي SPSS

اذا توفرت لدينا البيانات الاتية :

تمثل هذه البيانات العلاقة بين الكمية من سلعة معينة ( Y ) والعوامل المؤثرة علها وهي السعر ( X1 ) ، دخل المستهلك ( X2 ) بالدولار ، سعر السلعة البديلة ( X3 ) .

وحسب النظرية الاقتصادية هناك علاقة بين المتغير المعتمد وهو الكمية المطلوبة والمتغيرات التفسيرية (المستقلة )الاخرى وهي (السعر ، الدخل ، سعر السلعة البديلة )

ويمكن معرفة الاثر او ا لعلاقة بين المتغيرات التفسيرية والمتغير المعتمد من خلال تقدير هذه العلاقة وبالشكل (شكل العلاقة ) الاتي:

Y = f (X1, X2 , X3)                         ….(1)

والمعادلة التقديرية حسب نموذج الانحدار الخطي المتعدد   تكون وفق الاتي :

Y = a + bX1 + cX2 + dX3 + u   …………….. (2)

حيث تمثل :

ِ a : معامل التقاطع او الحد الثابت

b   ، c  ، d : تمثل معاملات دالة   معادلة الانحدار الخطي المتعدد

U   ، تمثل الخطا القياسي او الخطا العشوائي للنموذج المقدر

ولتقدير النموذج السابق نستخدم طريقة المربعات الاعتيادية ( Ordinary Least Squares )

للحصول على معاملات النموذج السالف الذكر في (2) .

ويمكن استخدام البرنامج الاحصائي الممتاز SPSS  الاصدار 11.0 في الحصول على نتائج تقدير معادلة الانحدار الخطي المتعدد وكما يلي

اولا : نقوم بادخال البيانات في محرر بيانات SPSS

ثانيا : نقوم بتسمية المتغيرات كما في الشكل الاتي

ثالثا : نذهب الى قائمة analyze ونختار منها الامر Regression ومن القائمة الفرعية نختار Linear ، كما في الشكل الاتي :

رابعا : من نافذة تحليل الانحدار نقوم بتحديد المتغير المعتمد ( Y ) وننقله الى خانة المتغير المعتمد ، نحدد المتغيرات المستقلة وننقلها الى خانة المتغيرات المستقلة ، ثم ننقر OK كما في الشكل الاتي :

خامسا : سوف نحصل على شاشة المخرجات الآتية :

Regression

تحليل النتائج التي حصلنا عليها من SPSS

اولا: التحليل الإحصائي

الجدول الأول يمثل طريقة الانحدار المستخدمة وهي طريقة Enter حيث يتبين ان البرنامج قام بادخال جميع المتغيرات المستقلة في معادلة الانحدار الخطي المتعدد.

الجدول الثاني : يوضح الجدول الثاني قيم معامل الارتباط الثلاثة وهي معامل الارتباط البسيط R    حيث بلغ 0.97 ومعامل التحديد R 2  وهو يساوي 0.95 واخيرا معامل التحديد المصحح R 2-  والذي بلغ 0.94 مما يعني ان المتغيرات المستقلة (التفسيرية ) (السعر ، الدخل ، سعر السلعة الاخرى ) استطاعت ان تفسر 0.94 من التغيرات الحاصلة في الكمية المطلوبة ( Y ) والباقي (0.06)   يعزى الى عوامل اخرى.

الجدول الثالث : يمثل الجدول الثاني جدول تحليل التباين والذي يمكن المعرفة من خلاله على القوة التفسيرية للنموذج ككل عن طريق احصائية F  وكما نشاهد من جدول تحليل التباين المعنوية العالية لاختبار F   ( P < 0.0001 ) . مما يؤكد القوة التفسيرية العالية لنموذج الانحدار الخطي المتعدد من الناحية الاحصائية .

الجدول الرابع : يبين الجدول الرابع والأخير قيم معاملات الانحدار للمقدرات والاختبارات المعنوية الاحصائية لهذه المعاملات ويمكن تلخيص هذه الجدول بالشكل الاتي

من الجدول نستنتج ان المتغيرات المستقلة (سعر السلعة) كان معنوي من الناحية الاحصائية وحسب اختبار t (عند مستوى معنوية  P ≤ 0.05 ) ، في حين كاد متغير الدخل ان يكون معنوي   (عند مستوى معنوية  P ≤ 0.05 ) .   الا ان المتغير المستقل (سعر السلعة البديلة )  لم يكن ذو تاثير معنوي في نموذج الانحدار المتعدد وحسب اختبار t  .

التحليل الاقتصادي :

حسب منطق النظرية الاقتصادية ، الكمية المطلوبة من سلعة معينة ترتبط بعلاقة عكسية مع السعر ، وبعلاقة طردية مع الدخل ، وبعلاقة طردية مع سعر السلعة البديلة ، ومن النتائج التي حصلنا عليها نجد الاتي : (جميع الاشارات كانت مطابقة مع النظرية الاقتصادية)

ان معامل السعر كان ( 4.93 -) وهذا مطابق لمنطق النظرية الاقتصادية ، مما يعني ان كل زيادة في السعر بمقدار دولار واحد سيؤدي الى انخفاض الكمية المطلوبة بمقدار 5 وحدات تقريبا    (4.93)   ، اما فيما يخص الدخل ، ايضا كان مطابق للنظرية الاقتصادية حيث كان    ( 1. 6 ) مما يعني انه كل زيادة في الدخل بمقدار دولار واحد ستؤدي الى ارتفاع الكمية المطلوبة يمقدار ( 1.6 ) وحدة ، واخيرا بالنسبة لعامل السلعة البديلة ، نجد ان ه ايضا مطابق للنظرية الاقتصادية حيث بلغت قيمته ( 0.17 ) ، أي انه اذا ازداد الكمية المطلوبة من السلعة بمقدار وحدة واحدة فان الطلب على السلعة البديلة سوف يزداد بمقدار 0.17 وحدة .

والله ولي التوفيق

والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته